求解禁求解禁求解禁_求解

1、题：1×2×3×........×100所得的积的末尾有多少个连续的0？为什么分析：本题相当于1×2×3×........×100=10^b*N,N不被10整除，求b.其实，10^b由2^b和5^b乘得。

(相关资料图)

2、我们后面会分析出，1×2×3×........×100中含有因子2的次数大于含有5的次数。

3、因此，我们讨论5^b就行了。

4、答案是: 100/5+100/25=24.还有一些等价题，我们一并分析，并给出完整的解答方法。

5、题1:1×2×3×........×100=2^a*5^b*M,其中M与10互质(即不含有10的因子2,5),求a,b中较小的一个。

6、我们后面会知道，a显然大于b.故只需要求b即可。

7、于是题目等价于:题1-:1×2×3×........×100=5^b*M,其中M与5互质,求b.还可以是：题2：1×2×3×........×100=5^b*M,求b最大可以是多少。

8、解：100/5+100/25+[100/125]+...=20+4+0=24答：末尾最后有24个连续的0.原因如下.我们先分析题1-，然后再详细解释为什么这样做。

9、题1-: 1×2×3×........×100=5^b*M,其中M与5互质,求b100以内5的倍数(有且只有这些数含有约数5)：5,10, ... , 100它们的个数，是100/5的整数部分，用高斯取整函数[x]，记成[100/5]这里100/5本身是整数，[100/5]直接写作100/5.每个数计因子5各1次,得到5的指数e(1)=[100/5];其中25,50,75,100，还能被5^2整除，各数应当再多计因子5各1次。

10、这些数的个数为4,可以这样计算：[100/5^2]=4,显然也可以这样算：[[100/5]/5]=[20/5]=4这样得到由5^2的倍数追加的指数e(2)=[100/5^2]同样还要讨论5^i(i>=3)的倍数的贡献，但是[100/5^3]=0,已经不用再考虑。

11、再次重申：[x]表示x的整数部分。

12、100/5^3在(0,1)之内（值是0.8)，整数部分为0.于是所求指数b=e(1)+e(2)+...=[100/5]+[100/5^2]+...=20+4+0=24在题1中,1×2×3×........×100=2^a*5^b*M,其中M与10互质(即不含有10的因子2,5),求a,b中较小的一个显然a=[100/2]+...>b,于是原式=10^b*(2^(a-b)*M),后面的项无法被10整除，故得数最后的0的个数就是b.思考题1:求以上题1中的a.解：100/2=50，50/2=25，[25/2]=12，12/2=6，...或者通过心算直接写出算式：50+25+12+6+3+1(+0)=97思考题2:1*2* ... * N =p^e * k,p为素数。

13、求e的最大值。

14、答案：e=[N/p}+[N/p^2]+[N/p^3]+...(可以一直加下去，加到0当然就可以停了，加也白加)=sum([N/p^i]) {i从1到无穷大}在数论中，这个函数常常写成：Pot_(p) (N!)Pot_p (k)就是k的标准素因子分解式中,质数p的指数。

15、 注意：e1=[N/p}e2=[N/p^2]=[e1/p]这样递推计算，省力。

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